Question

已知关于x的一元二次方程x²+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.

（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数y=x²+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求的取值范围；

（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.

Answer

（1）证明见解析（2）k＜1（3）2

【解析】

试题分析：（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；

（2）由于二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；

（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．

试题解析：（1）∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，

∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）∵二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，

∵二次项系数a=1，

∴抛物线开口方向向上，

∵△=（k﹣3）2+12＞0，

∴抛物线与x轴有两个交点，

设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，

∴x1+x2=5﹣k＞0，x1•x2=1﹣k＞0，

解得k＜1，

即k的取值范围是k＜1；

（3）设方程的两个根分别是x1，x2，

根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，

即x1•x2﹣3（x1+x2）+9＜0，

又x1+x2=5﹣k，x1•x2=1﹣k，

代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，

解得k＜．

则k的最大整数值为2．

考点：1、抛物线与x轴的交点；2、根的判别式；3、根与系数的关系；4、二次函数的性质