Question

如图在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为秒.其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度.以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q.

（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；

（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0）,作直线AB的垂线CM，垂足为M，若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切，若存在，请直接写出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）m=4﹣t 或m=4﹣t（3）存在，（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）

【解析】

试题分析：（1）只要证明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠AOB=90°，推出QP⊥AB，推出AB是⊙O的切线；

（2）分两种情形求解即可：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．分别列出方程即可解决问题．

（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件．

试题解析：（1）如图1中，连接QP．

在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，

∴AB==5，

∵AP=4t，AQ=5t，

∴，

∵∠PAQ=∠BAO，

∴△PAQ∽△BAO，

∴∠APQ=∠AOB=90°，

∴QP⊥AB，

∴AB是⊙O的切线．

（2）①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．

易知PQ=DQ=3t，CQ=•3t=，

∵OC+CQ+AQ=4，

∴m+t+5t=4，

∴m=4﹣t．

②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．

∵OC+AQ﹣CQ=4，

∴m+5t﹣t=4，

∴m=4﹣t．

（3）存在．理由如下：

如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t= ，

由（2）可知，m=﹣或．

如图5中，当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，

由（2）可知，m=﹣或．

综上所述，满足条件的点C的坐标为（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．

考点：一次函数综合题