Question

如图，抛物线y=ax²+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．

（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；

（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；

i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．

Answer

（1）抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，C（1，0）；（2）当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；(3). 存在，理由见解析；（NA+ NB）的最小值为.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件得到B（0，），A（﹣6，0），解方程组得到抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，于是得到C（1，0）；（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m， m+），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=GD=ED，GM=OB=，列方程即可得到结论；（3）i：根据已知条件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到=，于是得到结论；ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知，=，得到NP=NB，于是得到（NA+NB）的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．

试题解析：

（1）在y=x+中，令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣6，∴B（0，），A（﹣6，0），

把B（0，），A（﹣6，0）代入y=ax2+bx﹣a﹣b得，

∴，∴抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，

令y=0，则=﹣x2﹣x+=0，∴x1=﹣6，x2=1，∴C（1，0）；

（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，

∴D（m， m+），当DE为底时，

作BG⊥DE于G，则EG=GD=ED，GM=OB=，

∴m++（﹣m2﹣++m+）=，

解得：m1=﹣4，m2=9（不合题意，舍去），

∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；

（3）i：存在，

∵ON=OM′=4，OB=，∠NOP=∠BON，

∴当△NOP∽△BON时，=，

∴不变，即OP==3，∴P（0，3）

ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知， =，

∴NP=NB，∴（NA+NB）的最小值=NA+NP，∴此时N，A，P三点共线，

∴（NA+NB）的最小值=,

考点：二次函数综合题．