Question

如图，，为中点，点在线段上(不与点，重合)，将绕点逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点，，且点，在异侧，连接．

(1)求证：；

(2)当时，求的长(结果保留)；

(3)若的外心在扇形的内部，求的取值范围．

Answer

(1)见解析；(2)；(3)4＜OC＜8.

【解析】(1)连接OQ，证明AP，BQ所在两个三角形全等；(2)在Rt△BOQ中，由OB，BQ的长求出∠BOQ的度数，得到所对圆心角的度数，再根据弧长公式求解；(3)△APO的外心是OA的中点，

试题分析：

试题解析：(1)证明：连接OQ.

∵AP，BQ分别与相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠P=∠Q=90°.

∵OA=OB，OP=OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO.∴AP=BQ.

(2)∵BQ=，OB==8，∠Q=90°，∴sin∠BOQ=，∴∠BOQ=60°.

∵OQ=8×cos60°=4，∴的长为=.

(3)设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，∴OM=4.

当点M在扇形的内部时，OM＜OC，∴4＜OC＜8.

考点：全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，外心.