Question

平面内，如图，在中，，，．点为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段．

(1)当时，求的大小；

(2)当时，求点与点间的距离(结果保留根号)；

(3)若点恰好落在的边所在的直线上，直接写出旋转到所扫过的面积(结果保留)．

Answer

(1)100°或80°；(2)；(3)16π或20π或32π.

【解析】

试题分析：(1)根据点Q与点B和PD的位置关系分类讨论；(2)因为△PBQ是等腰直角三角形，所以求BQ的长，只需求PB，过点P作PH⊥AB于点H，确定AH:BH，求得AH和BH，解直角△APH求PH，由勾股定理求PB.(3)根据点Q在AD上，DC上，BC的延长线上，分别画出图形，分三种情况讨论.

试题解析：(1)当点Q与B在PD的异侧时，由∠DPQ=10°，∠BPQ=90°得∠BPD=80°，

∴∠APB=180°-∠BPD=100°.

当点Q与B在PD的同侧时，如图2，∠APB=180°-∠BPQ-∠DPQ=80°.

∴∠APB的度数是80°或100°.

(2)如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ.

∵tan∠ABP:tanA=，∴AH:HB=3:2.

而AB=10，∴AH=6，HB=4.

在Rt△PHA中，PH=AH·tanA=8.

∴PQ=PB=.

∴在Rt△PQB中，QB=PB=.

(3)①点Q在AD上时，如图3，由tanA=得，PB=AB·sinA=8，∴扇形面积为16π.

②点A在CD上时，如图4，过点P作PH⊥AB于点H，交CD延长线于点K，由题意∠K=90°，∠KDP=∠A.

设AH=x，则PH=AH·tanA=.

∵∠BPH=∠KQP=90°-∠KPQ，PB=QP，∴Rt△HPB≌Rt△KQP.∴KP=HB=10-x.

∴AP=，PD=，AD=15=，解得x=6.

∵，∴扇形的面积为20π.

③点Q在BC延长线上时，如图5，过点B作BM⊥AD于点M，由①得BM=8.

又∠MPB=∠PBQ=45°，∴PB=，∴扇形面积为32π.

所以扇形的面积为16π或20π或32π.

考点：邻补角的定义，解直角三角形，勾股定理，扇形的面积，分类思想.