Question

自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购型商品的件数是用7500元采购型商品的件数的2倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多10元．

（1）求一件型商品的进价分别为多少元？

（2）若该欧洲客商购进型商品共250件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，且不小于80件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进型商品件，求该客商销售这批商品的利润y与之间的函数关系式，并写出的取值范围；

（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益．

Answer

（1）A型商品的进价为160元，B型商品的进价为150元

（2）函数关系式为：y=10m+17500（80≤m≤125）

（3）当0＜a＜10时，当m=125时利润最大，ymax=1250-125a+17500=18750-125a

当a=10时，y=17500，ymax=17500

当a＞10时，当m=80时利润最大，ymax=800-80a+17500=18300-80a

【解析】

试题分析：（1）设一件A型商品的进价为x元，则B型商品的进价为（x-10）元，然后根据“用16000元采购型商品的件数是用7500元采购型商品的件数的2倍”列分式方程求解即可；

（2）设A型商品m件，B型商品（250-m）件，然后根据“欧洲客商购进型商品共250件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，且不小于80件”列不等式，根据利润=售价-进价即可求解函数的解析式；

（3）根据（2）的结果，由收益=利润-捐款，得到函数的解析式，然后分类讨论即可.

试题解析：（1）设一件A型商品的进价为x元，则

解得x=160

经检验，x=160时原方程的根

此时，x-10=150

所以一件A型商品的进价为160元，B型商品的进价为150元；

（2）设A型商品m件，B型商品（250-m）件，则

解得80≤m≤125

函数关系式为：y=10m+17500（80≤m≤125）

（3）y=10m+17500-ma=（10-a）m+17500

当0＜a＜10时，y随m的增大而增大，当m=125时利润最大，ymax=1250-125a+17500=18750-125a

当a=10时，y=17500，ymax= 17500

当a＞10时，y随m的增大而减小，当m=80时，利润最大，ymax=800-80a+17500=18300-80a

考点：1、分式方程，2、不等式，2、一次函数及最值