Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S_△CEF=2S_△ABE，其中正确结论有（　　）

A. 2个    B. 3个    C. 4个    D. 5个

Answer

C

【解析】∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等边三角形，

∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

,

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF（故①正确）．

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°（故②正确），

∵BC=CD，

∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．（故③正确）．

设EC=x，由勾股定理，得

EF=x，CG=x，

AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，

∴AC= ，

∴AB= ，

BE= ，

∴BE+DF= ≠x，（故④错误），

∵S△CEF=，

S△ABE=，

∴2S△ABE==S△CEF，（故⑤正确）．

综上所述，正确的有4个，

故选：C．

点睛：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键.