Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α ≤180°）得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．在四边形OABC旋转过程中，若BP＝BQ，则点P的坐标为__________．

Answer

【解析】过点Q画QH⊥OA′于H,连接OQ,则QH=OC′=OC，

∵S△POQ=PQ⋅OC,S△POQ=OP⋅QH，

∴PQ=OP.

设BP=x,∵BP=BQ，

∴BQ=2x，

如图1,当点P在点B左侧时,

OP=PQ=BQ+BP=3x，

在Rt△PCO中，(8+x)2+62=(3x)2，

解得x1=1+，x2=1− (不符实际,舍去).

∴PC=BC+BP=9+，

∴P1(−9−，6).

如图2，当点P在点B右侧时，

∴OP=PQ=BQ−BP=x，PC=8−x.

在Rt△PCO中,(8−x)2+62=x2，

解得x=.

∴PC=BC−BP=8−=，

∴P2(−，6)，

综上可知,点P1(−9−，6)，P2(−，6)，使BP=BQ.

故答案为：P1(−9−，6)，P2(−，6).

点睛：此题考查了坐标与图形的变化---旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解.