Question

如图(1)，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，cosB＝．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO－OC－CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t(s)，△BPQ的面积为S(cm²)，  已知S与t之间的函数关系如图(2)中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．

（1）点Q的运动速度为        cm/s，点B的坐标为           ；

（2）求曲线FG段的函数解析式；

（3）当t为何值时，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的？

Answer

（1）4,(18,8)；

（2）曲线FG段的函数解析式为：S=−t2+12t；

（3）t=3或t=,△BPQ的面积是四边形OABC的面积的.

【解析】试题分析：（1）结合函数图象得出当2秒时，BP=2，此时△BPQ的面积为8cm2，进而求出AO为8cm，即可得出Q点的速度，进而求出AB的长即可；（2）首先得出PB=t，BQ=30-4t，则QM=（30-4t）=24-t，利用S△PBQ=t（24-t）求出即可；（3）首先得出△BPQ的面积，进而得出F点坐标，进而得出直线EF解析式为：S=4t，当S=12时，求出t的值，再将S=12代入S=-t2+12t求出t的值，即可得出答案．

试题解析：(1)由题意可得出：当2秒时，△BPQ的面积的函数关系式改变，则Q在AO上运动2秒，

当2秒时，BP=2，此时△BPQ的面积为8cm2，

∴AO为8cm，

∴点Q的运动速度为：8÷2=4(cm/s)，

当运动到5秒时，函数关系式改变，则CO=12cm，

∵cosB=，

∴可求出AB=6+12=18(cm)，

∴B(18,8)；

故答案为：4，(18，8)；

(2)如图(1)：

PB=t，BQ=30−4t，

过点Q作QM⊥AB于点M，

则QM= (30−4t)=24−t，

∴S△PBQ=t(24−t)=− t2+12t(5⩽t⩽7.5)，

即曲线FG段的函数解析式为：S=− t2+12t；

(3)∵S梯形OABC= (12+18)×8=120，

∴S=×120=12，

当t>2时，F(5，20)，

∴直线EF解析式为：S=4t，当S=12时，4t=12，解得：t=3，

将S=12代入S=−t2+12t，

解得：t=，

∵5⩽t⩽7.5，故t=，

综上所述：t=3或t=，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的.

点睛：此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形面积求法和待定系数法 求函数解析式等知识，利用分类讨论得出是解题的关键.注意：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图形的含义即会识图.