Question

如图，在中， ，点是边的中点，过作于点，点是边上的一个动点， 与相交于点．当的值最小时， 与之间的数量关系是__________．

A.     B.     C.     D.

Answer

B

【解析】如图,作点A关于BC的对称点A′,连接A′D交BC于点P,此时PA+PD最小。作DM∥BC交AC于M，交PA于N.

∵∠ACB=∠DEB=90°，

∴DE∥AC，

∵AD=DB，

∴CE=EB，

∴DE=AC=CA′，

∵DE∥CA′，

∴EPPC=DECA′=，

∵DM∥BC，AD=DB，

∴AM=MC，AN=NP，

∴DM=BC=CE=EB,MN=PC，

∴MN=PE，ND=PC，

在△DNQ和△CPQ中，

，

∴△DNQ≌△CPQ，

∴NQ=PQ，

∵AN=NP，

∴AQ=3PQ.

故选：B.

点睛：本题考查轴对称最短问题、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用对称找到点P位置，熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型.解几条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧动点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短来确定方案，是两条线段之和转化为一条线段.