Question

如图，⊙与菱形在平面直角坐标系中，点的坐标为点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，且点在点的右侧．

（）求菱形的周长．

（）若⊙沿轴向右以每秒个单位长度的速度平移，菱形沿轴向左以每秒个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为（秒），当⊙与相切，且切点为的中点时，连接，求的值及的度数．

（）在（）的条件下，当点与所在的直线的距离为时，求的值．

Answer

（1）菱形的周长为8；（2）， ；（3）

【解析】试题分析：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由点A和点B的坐标可知：BE=，AE=1，依据勾股定理可求得AB的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M与x轴的切线为F，AD的中点为E．先求得EF的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为 M与AD的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明△AFM是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF的度数，故此可求得∠MAC的度数；（3）如图4所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE的长，然后依据3t+2t=5-AE可求得t的值；如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=，最后依据3t+2t=5+AE．列方程求解即可．

试题解析：（ ）如图1所示：过点作，垂足为，

∵， ，

∴， ，

∴，

∵四边形为菱形，

∴，

∴菱形的周长．

（）如图2所示，⊙与轴的切线为， 中点为，

∵，

∴，

∵，且为中点，

∴， ，

∴，

解得．

平移的图形如图3所示：过点作，

垂足为，连接， 为⊙与切点，

∵由（）可知， ， ，

∴，

∴，

∴，

∵四边形是菱形，

∴，

∵为切线，

∴，

∵为的中点，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

（）如图4所示：连接，过点作，垂足为，作，垂足为，

∵四边形为菱形， ，

∴．

∵、是圆的切线

∴，

∵。

∴，

∴，

∴．

如图5所示：连接，过点作，垂足为，作，垂足为，

∵四边形为菱形， ，

∴，

∴，

∵、是圆的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

综上所述，当或时，圆与相切．

点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研究点、直线和圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思路清楚，过程简捷.