Question

如图，以A（0， ）为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O，与y轴相交于点B，弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E，且∠BEO＝60°，AD的延长线交x轴于点C．

（1）分别求点E、C的坐标；

（2）求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式；

（3）设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判断以M点为圆心，ME为半径的圆与⊙A的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）点C的坐标为（－3，0）（2）（3）⊙M与⊙A外切

【解析】试题分析：（1）已知了A点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE中，根据∠BEO和OB的长求出OE的长进而可求出E点的坐标，同理可在直角三角形OAC中求出C点的坐标；

（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C，A的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（3）两圆应该外切，由于直线DE∥OB，因此∠MED=∠ABD，由于AB=AD，那么∠ADB=∠ABD，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE，即ME=MD，因此两圆的圆心距AM=ME+AD，即两圆的半径和，因此两圆外切.

试题解析：（1）在Rt△EOB中， ，

∴点E的坐标为（－2，0）．

在Rt△COA中， ，

∴点C的坐标为（－3，0）．

（2）∵点C关于对称轴对称的点的坐标为F（－1，0），

点C与点F（－1，0）都在抛物线上．

设，用代入得

，

∴．

∴，即

．

（3）⊙M与⊙A外切，证明如下：

∵ME∥y轴，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴⊙M与⊙A外切．