Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中，正确的结论是（　　）

A. ①②④    B. ①③⑤    C. ②③④    D. ①④⑤

Answer

【解析】试题分析：首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确．

【解析】
∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，

∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE；

∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；

①∵∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE；

即∠ECB=∠DCA；故①正确；

②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；

当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角；

故②不完全正确；

④∵，∴；

由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；

∴∠DAC=∠B=45°；

∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；

③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；

∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；

∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；

因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；

⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；

△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；

由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；

故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=，AD=1；

故S梯形ABCD=（1+2）×1=，故⑤正确；

因此本题正确的结论是①④⑤，故选D．

考点：相似三角形的判定；平行线的判定；等腰三角形的性质．