Question

如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为（20，0），点B在第一象限内，BO=10，sin∠BOA=．

（1）在图中，求作△ABO的外接圆（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹）；

（2）求点B的坐标与cos∠BAO的值；

（3）若A，O位置不变，将点B沿x轴向右平移使得△ABO为等腰三角形，请求出平移后点B的坐标．

Answer

（1）图形见解析（2）（3）点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、（2+12）个单位，或（2﹣8）个单位时，△ABO为等腰三角形．

【解析】试题分析：（1）作出BO和AB的垂直平分线，两线交点就是外接圆圆心，再画圆即可；

（2）作BH⊥OA，垂足为H首先计算出B点坐标，然后求出AB长，可得cos∠BAO；

（3）分两种情况进行计算，①当BO＝AB时，②当AO＝AB′时，③当AO＝OB′时，因为点B是沿x轴正半轴方向平移，因此B点纵坐标不变．

试题解析：

（1）如图所示：

（2）如图，作BH⊥OA，垂足为H，

在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA=，

∴BH=6，

∴OH=8，∴点B的坐标为（8，6），

∵OA=20，OH=8，∴AH=12，

在Rt△AHB中，∵BH=6，

∴AB==6

∴cos∠BAO==；

（3）①当BO=AB时，∵AO=20，∴OH=10，

∴点B沿x轴正半轴方向平移2个单位，

②当AO=AB′时，∵AO=20，∴AB′=20，

过B′作B′N⊥x轴，

∵点B的坐标为（8，6），

∴B′N=6，∴AN==2．

∴点B沿x轴正半轴方向平移（2+12）个单位，

③当AO=OB″时，

∵AO=20，

∴OB″=20，

过B″作B″P⊥x轴．

∵B的坐标为（8，6），

∴B″P=6，

∴OP==2，

∴点B沿x轴正半轴方向平移（2﹣8）个单位，

综上所述当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、（2+12）个单位，或（2﹣8）个单位时，△ABO为等腰三角形．

点睛：此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的判定，关键是正确画出图形，考虑分类讨论．