Question

已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=-x²+bx+c的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图,当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；

（3）抛物线y=-x²+bx+c在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?若存在,直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式；

（2）点N的坐标为，线段MN的长为；

（3）存在点M（2，-1），或（4，3）

【解析】试题分析：（1）①首先求得直线与x轴，y轴的交点坐标，利用二次函数的对称轴的公式即可求解；

②N在直线上同时在二次函数上，因而设N的横坐标是a，则在两个函数上对应的点的纵坐标相同，据此即可求得a的值，即N的坐标，过N作NC⊥x轴，垂足为C，利用勾股定理即可求得MN的长；

（2）△AOB的三边长可以求得OB=2OA，AB边上的高可以求得是，抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移，则MN的长度不变，根据（1）的结果是2，MN是AB边上的高的二倍，当OM⊥AB或ON⊥AB时，两个三角形相似，据此即可求得M的坐标．

试题解析：（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B，

∴A(，0)，B（0，-5）．                             

当顶点M与点A重合时，

∴M(，0)．

∴抛物线的解析式是：y＝−(x−)2．即y＝−x2+5x−．   

②∵N在直线y=2x-5上，设N（a，2a-5），又N在抛物线y＝−x2+5x−上，

∴2a−5＝−a2+5a−．                 

解得  a1＝，a2＝（舍去）

∴N(，−4)．                             

过N作NC⊥x轴，垂足为C．

∵N(，−4)，

∴C(，0)．

∴NC=4． MC＝OM−OC＝−＝2．   

∴MN＝；

（2）设M（m，2m-5），N（n，2n-5）．

∵A(，0)，B（0，-5），

∴OA=，OB=5，则OB=2OA，AB=，

当∠MON=90°时，∵AB≠MN，且MN和AB边上的高相等，因此△OMN与△AOB不能全等，

∴△OMN与△AOB不相似，不满足题意．

当∠OMN=90°时， ，即，解得OM=，

则m2+（2m-5）2=（）2，解得m=2，

∴M（2，-1）；

当∠ONM=90°时， ，即，解得ON=，

则n2+（2n-5）2=（）2，解得n=2，

∵OM2=ON2+MN2，

即m2+（2m-5）2=5+（2）2，

解得：m=4，

则M的坐标是M（4，3）．

故M的坐标是：（2，-1）或（4，3）．

【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，注意到MN是AB边上的高的二倍，当OM⊥AB或ON⊥AB时，两个三角形相似是解题的关键．