Question

如图Rt△AOB∽△DOC，∠AOB=∠COD=90°，M为OA的中点，OA=6，OB=8，将△COD绕O点旋转，连接AD，CB交于P点，连接MP，则MP的最大值（　　）

A. 7    B. 8    C. 9    D. 10

Answer

C

【解析】取AB的中点S，连接MS、PS，

则PM⩽MS+PS,

∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，

∴AB=10，

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠COB=∠DOA，

∵△AOB∽△DOC，

∴OCOB=ODOA，

∴△COB∽△DOA，

∴∠OBC=∠OAD，

∴O、B. P、A共圆，

∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，

∴PS=AB=5，

∵M为OA的中点，S是AB的中点，

∴MS=OB=4，

∴MP的最大值是4+5=9，

故选：C.

点睛：本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质，掌握旋转前、后的图形全等以及全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．