Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的 切线，交OD的延长线于点E，连接BE、AD并延长AD交BE于点F，

（1）求证：BE是⊙O的切线

（2）若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长

Answer

（1）图形见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．

（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC＝23，可求出OD＝6，OH＝4，HB＝5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．

试题解析：

（1）连接OC，

∵OD⊥BC，

∴∠COE＝∠BOE，

在△OCE和△OBE中，

∵，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，

∵OB是⊙O半径，

∴BE与⊙O相切．

（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，

∵∠DOH＝∠BOD，∠DHO＝∠BDO＝90°，

∴△ODH∽△OBD，

∴,

又∵sin∠ABC＝，OB＝9，

∴OD＝6，

易得∠ABC＝∠ODH，

∴sin∠ODH＝，即，

∴OH＝4，

∴DH＝＝2，

又∵△ADH∽△AFB，

∴， ，

∴FB＝．

点睛：此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用．