Question

已知抛物线C₁：y=ax²+bx+（a≠0）经过点A（-1，0）和B（3，0）．

（1）求抛物线C₁的解析式，并写出其顶点C的坐标；

（2）如图1，把抛物线C₁沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C₂，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C₁上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：

①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；

②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．

Answer

（1），顶点C（1，2）；（2）F（﹣3，﹣6）；（3）①tan∠ENM=2，是定值，不发生变化；②．

【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；

（2）根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y=x+1，根据题意求得EF=4，求得EF∥y轴，设F（m，-m2+m+），则E（m，m+1），从而得出（m+1）-（-m2+m+）=4，解方程即可求得F的坐标；

（3）①先求得四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根据△EGN∽△EMC，对应边成比例即可求得tan∠ENM==2；

②根据勾股定理和三角形相似求得EN=，然后根据三角形中位线定理即可求得．

试题解析：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（-1，0）和B（3，0），

∴解得，

∴抛物线C1的解析式为y=-x2+x+，

∵y=-x2+x+=-（x-1）2+2，

∴顶点C的坐标为（1，2）；

（2）如图1，作CH⊥x轴于H，

∵A（-1，0），C（1，2），

∴AH=CH=2，

∴∠CAB=∠ACH=45°，

∴直线AC的解析式为y=x+1，

∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∴∠DEF=∠ACH，

∴EF∥y轴，

∵DE=AC=2，

∴EF=4，

设F（m，-m2+m+），则E（m，m+1），

∴（m+1）-（-m2+m+）=4，

解得m=3（舍）或m=-3，

∴F（-3，-6）；

（3）①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；

如图2，

∵DF⊥AC，BC⊥AC，

∴DF∥BC，

∵DF=BC=AC，

∴四边形DFBC是矩形，

作EG⊥AC，交BF于G，

∴EG=BC=AC=2，

∵EN⊥EM，

∴∠MEN=90°，

∵∠CEG=90°，

∴∠CEM=∠NEG，

∴△ENG∽△EMC，

∴，

∵F（-3，-6），EF=4，

∴E（-3，-2），

∵C（1，2），

∴EC==4，

∴=2，

∴tan∠ENM==2；

∵tan∠ENM的值为定值，不发生变化；

②点P经过的路径是线段P1P2，如图3，

∵四边形BCEG是矩形，GP2=CP2，

∴EP2=BP2，

∵△EGN∽△ECB，

∴，

∵EC=4，EG=BC=2，

∴EB=2，

∴，

∴EN=，

∵P1P2是△BEN的中位线，

∴P1P2=EN=；

∴点M到达点C时，点P经过的路线长为．

考点：二次函数综合题.