Question

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计,得到如下数据： 

（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）； 

（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件.为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少?  

（3）为保证产品在实际试销中销售量不得低于30件，且工厂获得得利润不得低于400元，请直接写出单价的取值范围；

Answer

（1）；（2）最大值为450元；（3）

【解析】试题分析：（1）设y=kx+b，根据表中数据，利用待定系数法求解可得；

（2）设工厂获得的利润为w元，根据：“总利润=每件利润×销售量”，列函数解析式并配方可得其最值情况；

（3）根据销售量≥30件、获得的利润≥400元列不等式组，解不等式组可得．

试题解析：（1）设y=kx+b，

将x=30、y=40，x=34、y=32，代入y=kx+b，

得： ，

解得： ，

∴y关于x的函数关系式为：y=-2x+100；

（2）设定价为x元时，工厂获得的利润为w元，

则w=（x-20）•y=-2x2+140x-2000=-2（x-35）2+450

∴当x=35时，w的最大值为450元．

（3）根据题意得：

解得：30≤x≤35．