Question

（1）如图1，在矩形ABCD中，点P为边BC上一点，且， ，求BP的长；

（2）如图2，在平行四边形ABCD中， ，求的长；

（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC， ， ，在BC边上存在一点P，使得，则边的长满足的条件为             。（请直接写出结果）

Answer

（1）2；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）由四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠C=90°，根据余角的性质得到∠BAP=∠DPC，推出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（2）延长BC至点E，使得CD⊥DE，通过△ABP∽△DPE，列方程得到BP=1，过点P作PF⊥AB，解直角三角形即可得到结论；

（3）作AE⊥BC，DF⊥BC，得到∠AEP=∠DFP=90°，推出△AEP∽△PFD，根据相似三角形的性质得到AE•DF=PE•PF=4，由PE+PF≥2 ，即可得到结论．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∵∠APD=∠B=90°，

∴∠PAB+∠APB=∠APB+∠DPC=90°，

∴∠BAP=∠DPC，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

设BP=x，∴

∴x1=2，x2=8，又BP＜PC，

∴BP=2；

（2）延长BC至点E，使得CD⊥DE，

∵AB=2，BC=5，∠APD=∠B=45°，

∴∠DPE=∠BAP，∠B=∠E=45°，

∴△ABP∽△DEP，

∴，

设BP=x，CE=CD=4，

∴，

∴BP=1，

过点P作PF⊥AB，

则BF=PF=，AF=，

∴AP=；

（3）AD≥4，

作AE⊥BC，DF⊥BC，

∴∠AEP=∠DFP=90°，

∵∠APD=90°，

∴∠EAP+∠APE=∠APE+∠DPF=90°，

∴∠EAP=∠DPF，

∴△AEP∽△PFD，

∴，

∴AE•DF=PE•PF=4，

∵PE+PF≥2，

∴AD=PE+PF≥4．

故答案为：AD≥4．