Question

已知抛物线

（1）证明：不论m为何值，抛物线图象的顶点均在某一直线的图象上，求此直线的函数解析式；

（2）当时，点P为抛物线上一点，且，求点P的坐标；

（3）将（2）中的抛物线沿x轴翻折再向上平移1个单位向右平移个单位得抛物线，设抛物线的顶点为，抛物线与轴相交于点（A在B的左边），且∥，求的值.

Answer

（1）证明见解析；（2）（3）

【解析】试题分析：（1）利用配方法可确定抛物线的顶点M坐标为（m-1，-m-2），然后令x=m-1，y=-m-2，然后消去m得到x和y的关系式即可；

（2）先确定抛物线解析式为y=x2-2x-3，点M的坐标为（1，-4），利用旋转的定义，将线段OM绕点O逆时针旋转90°得线段OC，与抛物线相交于点P，如图1，从而得到点C坐标，再求出直线OP的解析式为y=x，然后解方程组得P点坐标；

（3）利用抛物线的几何变换得到N（n+1，5），抛物线C2的解析式为y=-（x-n-1）2+5，过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，如图2，根据抛物线与x轴的交点问题求出A点和B点坐标，然后证明Rt△AME∽Rt△BNF，再利用相似比得到关于n的方程，解方程可得到n的值．

试题解析：（1）证明：y=x2-2（m-1）x+m2-3m-1=[x-（m-1）]2-m-2，则抛物线的顶点M坐标为（m-1，-m-2），

令x=m-1，y=-m-2，

则x+y=-3，

所以直线l的函数解析式为y=-x-3；

（2）当m=2时，抛物线解析式为y=x2-2x-3，点M的坐标为（1，-4），

将线段OM绕点O逆时针旋转90°得线段OC，与抛物线相交于点P，如图1，

则点C坐标为（4，1），设直线OC的解析式为y=kx，

把C（4，1）代入得4k=1，解得k=，

所以直线OP的解析式为y=x，

解方程组得或，

所以点P的坐标为（， ）或（， ）；

（3）由题意可知，抛物线C2的顶点N（n+1，5），则抛物线C2的解析式为y=-（x-n-1）2+5，

过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，如图2，

当y=0时，-（x-n-1）2+5=0，解得x1=n+1-，x2=n+1+，

∴A（n+1-，0），B（n+1+，0），

∵AM∥BN，

∴∠MAE=∠NBF，

∴Rt△AME∽Rt△BNF，

∴，即，

∴n=．