Question

如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC，OC．

（1）求证：△OAP≌△OCP；

（2）若半圆O的半径等于2，填空：

①当AP= 　    　时，四边形OAPC是正方形；

②当AP=　     　时，四边形BODC是菱形．

Answer

（1）证明见解析；（2）①2；②2．

【解析】试题分析：（1）根据切线的性质，可以得到OP⊥AC，然后利用“HL”证明：△OAP≌△OCP；

（2）①根据正方形的性质可以得到AP的长；

②先利用菱形的性质得到△OBC为等边三角形，则∠B=60°，所以∠AOP=60°，然后在Rt△OAP中利用正切的定义求AP即可．

试题解析：（1）∵PC切半圆O于点C，∴OC⊥PC，

∵AM⊥AB，∴∠OAP=90°，

在Rt△OAP和Rt△OCP中 ，∴Rt△OAP≌Rt△OCP；

（2）①∵Rt△OAP≌Rt△OCP，∴PA=PC，

而OA=OC，∴当AO=AP时，四边形OAPC为菱形，

而∠OAP=90°，∴四边形OAPC是正方形，此时AP=OA=2；

②∵四边形BODC是菱形，∴OB=OD=CD=BC，BC∥OD，∴△OBC为等边三角形，

∴∠B=60°，∴∠AOP=60°，

在Rt△OAP中，∵tan∠AOP=，∴AP=2tan60°=2，

即AP=2时，四边形BODC是菱形．

故答案为2，2．