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已知:等边△ABC的边长为4,点P在线段AB上,点D在线段AC上,且△PDE为等...

已知:等边△ABC的边长为4,点P在线段AB上,点D在线段AC上,且△PDE为等边三角形,当点P与点B重合时(如图1),AD+AE的值为    

[类比探究]在上面的问题中,如果把点P沿BA方向移动,使PB=1,其余条件不变(如图2),AD+AE的值是多少?请写出你的计算过程;

[拓展迁移]如图3,△ABC中,AB=BC,∠ABC=a,点P在线段BA延长线上,点D在线段CA延长线上,在△PDE中,PD=PE,∠DPE=a,设AP=m,则线段AD、AE有怎样的等量关系?请用含m,a的式子直接写出你的结论.

 

(1)4.(2)[类比探究]: AD+AE=3(3)[拓展迁移]: AD﹣AE=2m•sin. 【解析】试题分析:(1)只要证明△EPA≌△DPC,即可推出AE=CD,可得AD+AE=AD+DC=AC=4; (2)[类比探究]:如图2中,作PK∥BC交AC于K.连接AE.利用(1)中的结论即可解决问题; (3)[拓展迁移]:如图3中,作PJ⊥AD于J,在AD上取一点K,使得PK=PA.由△PDK≌△PEA,推出DK=AE,推出AD﹣AE=AK=2AJ=2•m•sin即可解决问题; 试题解析:(1)如图1中, ∵△PDE.△PAC都是等边三角形,∴PE=PD,PA=PC,∠EPD=∠APC=60°, ∴∠EPA=∠DPC,∴△EPA≌△DPC,∴AE=CD,∴AD+AE=AD+DC=AC=4. (2)[类比探究]: AD+AE=3 理由:如图2中,作PK∥BC交AC于K.连接AE. 易证△PAK是等边三角形, 由上面题目可知.AE+AD=AK=3. (3)[拓展迁移]:如图3中,作PJ⊥AD于J,在AD上取一点K,使得PK=PA. 易证∠APK=∠DPE=α, ∵PD=PE,PK=PA,∴∠DPK=∠EPA,∴△PDK≌△PEA,∴DK=AE, ∴AD﹣AE=AK=2AJ=2•m•sin.∴AD﹣AE=2m•sin.  
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阅读下面材料:

上课时李老师提出这样一个问题:对于任意实数x,关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a>0恒成立,求a的取值范围.

小捷的思路是:原不等式等价于x2﹣2x﹣1>a,设函数y1=x2﹣2x﹣1,y2=a,画出两个函数的图象的示意图,于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围.

请结合小捷的思路回答:

对于任意实数x,关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a>0恒成立,则a的取值范围是    

参考小捷思考问题的方法,解决问题:

关于x的方程x﹣4=在0<a<4范围内有两个解,求a的取值范围.

 

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新学期开学了,文具店张经理购进100只两种型号的文具进行销售,其进价和售价之间的关系如下表:

型号

进价(元/只)

售价(元/只)

A型

10

12

B型

15

23

 

(1)张经理如何进货,才能使进货款恰好为1300元?

(2)要使销售文具所获利润最大,且所获利润不超过进货价格的40%,请你帮张经理设计一个进货方案,并求出其所获利润的最大值.

 

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数学小组的两位同学准备测量两幢教学楼之间的距离,如图,两幢教学楼AB和CD之间有一景观池(AB⊥BD,CD⊥BD),一同学在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°,另一同学在C点测得E点的俯角为45°(点B,E,D在同一直线上),两个同学已经在学校资料室查出楼高AB=15m,CD=20m,求两幢教学楼之间的距离BD.

(结果精确到0.1m,参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)

 

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如图,AB是半圆O的直径,射线AM⊥AB,点P在AM上,连接OP交半圆O于点D,PC切半圆O于点C,连接BC,OC.

(1)求证:△OAP≌△OCP;

(2)若半圆O的半径等于2,填空:

①当AP=       时,四边形OAPC是正方形;

②当AP=       时,四边形BODC是菱形.

 

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小韦随机调查了若干市民租用共享单车后骑车时间(单位:分),将获得的数据分成四组,绘制了如下统计图.请根据图中信息,解答下列问题:

(1)这次被调查的总人数是多少?

(2)试求表示A组的扇形圆心角的度数,并补全条形统计图.

(3)如果骑自行车的平均速度为12km/h,请估算,在租用公共自行车的市民中,骑车路程不超过6km的人数所占的百分比.

 

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