Question

如图1，二次函数y=ax²+bx+3经过点A（3，0），G（﹣1，0）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点M时抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM面积的最大值；

（3）抛物线的对称轴交x轴于点P，过点E（0， ）作x轴的平行线，交AB于点F，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）△ABM面积的最大值是；

（3）存在； Q的坐标为（﹣，﹣）或（﹣， ）．

【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得ME的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

（3）即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．

试题解析：（1）将A、G点坐标代入函数解析式，得 ，

解得 ，

抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）作ME⊥x轴交AB于E点，如图1

当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）

直线AB的解析式为y=﹣x+3，

设M（n，﹣ n2+2n+3），E（n，﹣n+3），

ME═﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）=﹣n2+5n，

S△ABM=ME•xA=（﹣n2+5n）×3=﹣（n﹣）2+，

当n=时，△ABM面积的最大值是；

（3）存在；理由如下：

OE=，AP=2，OP=1，BE=3﹣=，

当y=时，﹣ x+3=，解得x=，即EF=

将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3），

∵OB⊥EF，

∴点B'在直线EF上，

∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO﹣PO长度，

∴C点坐标为（﹣， ﹣1），

过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，

则△FEQ∽△B'EC，

由 =，

可得Q的坐标为（﹣，﹣）；

根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（﹣， ）也符合条件．

点睛：本题是二次函数的综合性问题，考查了待定系数法、二次函数的性质、相似三角形的 判定与性质、旋转等知识，能根据题意结合图形选择应用所学知识解决问题是关键.