Question

如图，在中， ．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是t秒（t>0）．过点作于点，连接、．

（1）求证： ；

（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；

如果不能，说明理由．

（3）当为何值时， 为直角三角形？直接写出t值．

Answer

（1）见解析（2）（3）t=秒或4秒

【解析】试题分析：（1）由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=t=AE；
（2）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=5，再求出AC=2AB=10，AD=AC-DC=10-2t，若△DEF为等边三角形，则▱AEFD为菱形，得出AE=AD，t=10-2t，求出t的值；

（3）分三种情况讨论：①∠EDF=90°时；②∠DEF=90°时；③∠EFD=90°时，此种情况不存在；分别求出t的值即可．

试题解析：

（1）证明：据题意： ，

又∵，

∴

∴AE=DF

（2）【解析】
四边形能够成为菱形

理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF

又AE=DF，

∴四边形为平行四边形

当AE=AD时，平行四边形是菱形

在Rt△中， ，

∴

设，则

则

即

解得：

∴，

又∵，

∴

帽AE=AD得：

解得：

由得， 得

而

当时

，

即

当时，平行四边形是菱形

（3）【解析】
①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE

即10﹣2t=2t，t=

②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°

∵∠A=90°﹣∠C=60°，

∴AD=AE

即10﹣2t=t，t=4

③∠EFD=90°时，此种情况不存在

综上所述，当t= 秒或4秒时，△DEF为直角三角形.

【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力；特别注意（3）中分类讨论三种情况，分别求出t的值，避免漏解．