Question

如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：

①△CEF与△DEF的面积相等；

②△AOB∽△FOE；

③△DCE≌△CDF；

④AC=BD．

其中正确的结论是（　　）

A. ①②    B. ①②③    C. ①②③④    D. ②③④

Answer

C

【解析】设D（x，），得出F（x，0），根据三角形的面积公式求出△DEF的面积，同法求出△CEF的面积，即可判断①；根据面积相等，推出边EF上的高相等，推出CD∥EF，即可证出△AOB∽△FOE，可判断②；算出C、D点坐标，可得到DF=CE，再证出∠DCE=∠FDA=45°，根据全等三角形的判定判断③即可；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，可推出BD=AC，判断④即可．

【解析】
①设D（x，），则F（x，0），

由图象可知x＞0，

∴△DEF的面积是：×||×|x|=2，

设C（a，），则E（0，），

由图象可知：＜0，a＞0，

△CEF的面积是：×|a|×||=2，

∴△CEF的面积=△DEF的面积，

故①正确；

②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，

故EF∥CD，

∴FE∥AB，

∴△AOB∽△FOE，

故②正确；

③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=的图象的交点，

∴x+3=，

解得：x=﹣4或1，

经检验：x=﹣4或1都是原分式方程的解，

∴D（1，4），C（﹣4，﹣1），

∴DF=4，CE=4，

∵一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，

∴A（﹣3，0），B（0，3），

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∵DF∥BO，AO∥CE，

∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，

∴∠DCE=∠FDA=45°，

在△DCE和△CDF中，

DF=CE，∠FDC=∠ECD，DC=CD，，

∴△DCE≌△CDF（SAS），

故③正确；

④∵BD∥EF，DF∥BE，

∴四边形BDFE是平行四边形，

∴BD=EF，

同理EF=AC，

∴AC=BD，

故④正确；

正确的有4个．

故选C．

“点睛”本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形的面积、全等三角形的判定、相似三角形的判定，检查同学们综合运用定理进行推理的能力，关键是需要同学们牢固掌握课本知识.