Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点．

（1）已知点A(3，1)，连结OA，作如下探究：

探究一：平移线段OA，使点O落在点B.设点A落在点C,若点B的坐标为(1，2)，请在图1中作出BC，点C的坐标是_________；

探究二：将线段OA绕点O逆时针旋转90°，设点A落在点D.则点D的坐标是_______.

（2） 已知四点O(0，0)，A (a，b)， C，B(c，d)，顺次连结O，A，C，B．

若所得到的四边形是正方形，请直接写出a，b，c，d应满足的关系式是________．

Answer

（4，3） （a+c，b+d）； a=d且b=-c或b=c且a=-d．

【解析】（1）由于点A（3，1），连接OA，平移线段OA，使点O落在点B．设点A落在点C，若点B的坐标为（1，2），由此即可得到平移方法，然后利用平移方法即可确定在图1中作出BC，并且确定点C的坐标；又将线段OA绕点O逆时针旋转90度，设点A落在点D，根据旋转的性质和方向可以确定点D的坐标；
（2）已知四点O（0，0），A （a，b），C，B（c，d），顺次连接O，A，C，B．
①若所得到的四边形为平行四边形，那么得到OA∥CB，根据平移的性质和已知条件即可确定点C的坐标；
②若所得到的四边形是正方形，那么根据正方形的性质可以得到a=d且b=-c或b=c且a=-d．

【解析】
（1）探究一：
∵点A（3，1），连接OA，平移线段OA，使点O落在点B．
设点A落在点C，若点B的坐标为（1，2），
则C的坐标为（4，3），如图1所示：

探究二：
∵将线段OA绕点O逆时针旋转90度，
设点A落在点D．
则点D的坐标是（-1，3），如图2所示；

（2）∵四点O（0，0），A （a，b），C，B（c，d），顺次连接O，A，C，B．
①若所得到的四边形为平行四边形，
那么OA∥CB，
∴OA平移到OB的位置，
点C的坐标为（a+c，b+d）；
②若所得到的四边形是正方形，
那么根据正方形的性质可以得到a=d且b=-c或b=c且a=-d．
“点睛”此题分别考查了坐标与图形的变换、平由四边形、正方形的性质等知识，综合性比较强，要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好解决这类问题．