Question

如图， 已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合)，分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F. 试说明：（1）△ABP≌△AEQ；（2）EF＝BF

Answer

2．

【解析】（1）根据等边三角形性质得出AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根据SAS证△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；
（2）根据等边三角形性质求出∠ABE=∠AEB=60°，根据∠ABC=90°=∠AEQ求出∠BEF=∠EBF=30°，即可得出答案．

（1）【解析】
△BEC是等腰三角形，

理由是：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEC＝∠ECB，

∵CE平分∠DEB，

∴∠DEC＝∠BEC，

∴∠BEC＝∠ECB，

∴BE＝BC，

∴△BEC是等腰三角形．

（2）【解析】
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵∠ABE＝45°，

∴∠AEB＝45°＝∠ABE，

∴AE＝AB＝，

由勾股定理得：BE＝，

即BC＝BE＝2．

“点睛”本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用．