Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝3，PC＝.求∠CPA的度数．

Answer

135°

【解析】由于△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，则把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C，连PP′，根据旋转的性质得到∠P′AP=90°，P′A=PA=1，P′C=PB=3，得到△PAP′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得P′P=PA=，∠APP′=45°，在△P′PC中，可得到PC2+P′P2=P′C2，根据勾股定理的逆定理得到△P′PC为直角三角形，∠CPP′=90°，利用∠CPA=∠CPP′+∠APP′进行计算即可．

∵△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，

∴把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C，连PP′，如图，
∴∠P′AP=90°，P′A=PA=1，P′C=PB=3，
∴△PAP′为等腰直角三角形，
∴P′P=PA=，∠APP′=45°，
在△P′PC中，P′C=3，P′P=，PC=，
∵（）2+（）2=32，
∴PC2+P′P2=P′C2，
∴△P′PC为直角三角形，∠CPP′=90°，
∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°．

“点睛”本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质．