Question

如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足 

（1）求A、B两点的坐标；

（2）C为OA的中点，作点C关于y轴的对称点D，以BD为直角边在第二象限作等腰Rt△BDE，过点E作EF⊥x轴于点F．若直线y=kx－4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分，求k的值；

（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．

Answer

（1）A（4，0），B（0，4）；（2）k值为或-或；（3）见解析

【解析】（1）首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b的方程，解方程组即可求出a，b的值，也就能写出A，B的坐标；

（2）先判段出△DEF≌△BDO，得出EF、OF，即可求出四边形OBEF的面积为18，再分析两种情况可讨论计算即可.

（3）过M作x轴的垂线，通过证明△PBO≌△MPN得出MN=AN，转化到等腰直角三角形中即可得出结论．

【解析】
（1）∵，

∴a=4，b=4，

∴A（4，0），B（0，4）；

（2）由（1）知，B（0，4）；

∴OB=4，

∵C为OA的中点，

∴C（2，0）,

∵点C关于y轴的对称点D，

∴D（-2，0）

∴OD=2，

∵BD为直角边在第二象限作等腰Rt△BDE，

①如图，

当BD=BE，∠DBE=90°时，过点E作EH⊥OB于H，

∴∠BHE=90°，

∴∠BEH+∠HBE=90°，

∵∠DBE=90°，

∴∠HBE+∠OBD=90°，

∴∠BEH=∠OBD，

在△OBD和△HEB中，∠BOD=∠EHB=90°，∠0BD=∠BEH，BD=BE，

∴△OBD≌△HEB，

∴BH=OD，EH=OB，

∵D（-2，0），B（0，4），

∴OB=4，OD=2，

∴BH=2，EH=4，

∴OH=OB+BH=6，∴E（-4，6），

∴EF=OH=6，OEH=4，

∴S四边形OBEF=（OB+EF）×OF=20，

∵直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分，

∴S四边形OBGF=S四边形OBEF=10，

∴S四边形OBFE= (FG+OB×OF=×（FG+4）×4=2（FG+4）=10，

∴FG=1，∴G（-4，1）

将G（-4，1）代入直线y=kx-4k，得，1=-4k-4k，

∴k=.

②如图1，

当DE=BD，∠BDE=90°时，

∴∠EDF+∠BDO=90°，

∴∠DEF=∠BDO，

在△DEF和△BDO中，∠DEF= ∠BOD=90°，∠DEF=∠BDO，DBD，

∴△DEF≌△BDO，

∴EF=OD=2，DF=OB=4，

∴OF=6，

∴F（-6，2）

∴S四边形OBEF=（EF+OB）×OF=×（2-4）×6=18，

∵直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分，

所以直线y=kx-4k分成的两部分的面积为9，

∵直线y=kx-4k恒过A（4，0），

∴I、当直线y=kx-4k和线段EF相交，

∴S四边形OHGF=9，

∵H（0，-4k），

∴OH=-4k，

∵G点的横坐标为-6，

∴G（-6，-10k），

∴FG=-10k，

∴S四边形OHGF=（-4k=10k）×6=9.

∴k=-，

II、当直线y=kx-4k①和线段EB相交，

∴S△MBN=9，

∵N（0，-4k）

∴BN=4（k+1）,

∵B（0，4），E（-6，2），

∴直线BE的解析式为y=x+4②

联立①②得，点M的横坐标为，

∴S△MBN=×4（k+1）×=9，

∴k=（舍）或k=.

即：满足条件的k值为或-或.

（3）过M作MN⊥x轴，垂足为N．

∵∠BPM=90°，∴∠BPO+MPN=90°．

∵∠AOB=∠MNP=90°，∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN．

∵BP=MP，∴△PBO≌△MPN，

∴ MN=OP，PN=AO=BO，

∴OP=OA+AP=PN+AP=AN，

∴MN=AN，∠MAN=45°．

∵∠BAO=45°，

∴△BAQ是等腰直角三角形．

∴OB=OQ=4．

∴无论P点怎么动，OQ的长不变．

“点睛”此题是一次函数综合题，主要考查了非负性，全等三角形的判定和性质，梯形的面积公式，三角形面积公式，等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是求出k的值．