Question

问题发现：

（）如图①，点为平行四边形内一点，请过点画一条直线，使其同时平分平行四边形的面积和周长．

问题探究：

（）如图②，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴正半轴上，点 坐标为．已知点为矩形外一点，请过点画一条同时平分矩形面积和周长的直线，说明理由并求出直线，说明理由并求出直线被矩形截得线段的长度．

问题解决：

（）如图③，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴正半轴上， 轴， 轴，且， ，点为五边形内一点．请问：是否存在过点的直线，分别与边与交于点、，且同时平分五边形的面积和周长?若存在，请求出点和点的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer

（1）作图见解析；（2）， ；（3）， ．

【解析】试题分析：（1）连接AC、BD交于点O，作直线PO，直线PO将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分．

（2）连接AC，BD交于点，过、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分．

（3）存在，直线平分五边形面积、周长．

试题解析：（）作图如下：

（）∵， ，

∴设，

， ，

∴，

交轴于，

交于，

．

（）存在，直线平分五边形面积、周长．

∵在直线上，

∴连交、于点、，

设， ，

， ，

∴直线，

联立，得，

∴， ．