Question

某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y（元）与销售时间第x月之间存在如图 1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y（元）与销售时间第x月满足函数关系式y= ﹣8mx+n，其变化趋势如图2；

⑴求y₂的解析式；

⑵求y₁的解析式；

⑶第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？

Answer

（1）∴y2=x2﹣x+（1≤x≤12）；（2）y1=﹣x+12，(3)第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克

【解析】试题分析：（1）把函数图象经过的点（3，6），（7，7）代入函数解析式，解方程组求出m、n的值，即可得解；

（2）根据图1求出每千克的售价y ₁与x的函数关系式；

（3）根据利润＝售价−成本，得到利润与x的函数关系式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答即可．

试题解析：

（1）由图可知，y2=mx2﹣8mx+n经过点（3，6），（7，7），

∴，

解得．

∴y2=x2﹣x+（1≤x≤12）；

（2）设y1=kx+b（k≠0），

由图可知，函数图象经过点（4，11），（8，10），

则，

解得，

所以，y1=﹣x+12，

所以，每千克所获得利润=（﹣x+12）﹣（x2﹣x+）

=﹣x+12﹣x2+x﹣

=﹣x2+x+

=﹣（x2﹣6x+9）++

=﹣（x﹣3）2+，

∵﹣＜0，

∴当x=3时，所获得利润最大，为元．

答：第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克.

点睛: 本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于（2）整理出利润的表达式并整理成顶点式形式．