Question

如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B，交反比例函数y=（k≠0）于点P（第一象限），若点P的纵坐标为2，且tan∠BAO=1

（1）求出反比例函数y=（k≠0）的解析式；

（2）过线段AB上一点C作x轴的垂线，交反比例函数y=（k≠0）于点D，连接PD，当△CDP为等腰三角形时，求点C的坐标．

Answer

（1）y=（2）当C（2，-2）时，△CDP为等腰直角三角形

【解析】试题分析：（1）过P作PE⊥x轴于点E，求出点P的坐标，进而求出反比例函数的解析式；

（2）首先求出直线AB的解析式，然后设C（m，m-4），则D（m， ），过P作PF⊥CD于F.则F（m，2），则F（m，2），根据DF=CF列出m的方程求出m即可.

试题解析：（1）过P作PE⊥x轴于点E，∵tan∠BAO=1，∴∠BAO=45°，

∴∠BAO=∠ABO=∠PAE=45°

∵点P的纵坐标为2，∴PE=AE=2，∵A（4,0），∴P（6,2）

把点P代人y=得k=12．∴反比例函数的解析式为y=

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b且过A（4,0），P（6,2）

，解得，∴y=x-4

要使△CDP是等腰直角三角形，只能∠DPC=90°，

设C（m，m-4），则D（m， ）.过P作PF⊥CD于F.则F（m，2）,

∴PD=PC，PF⊥CD，∴DF=CF，∴-2=2-（m-4），

∴m2-8m+12=0，（m-2）（m-6）=0，∴m1=2，m2=6（不合题意，舍去），

∴当C（2，-2）时，△CDP为等腰直角三角形。