Question

如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、是定值；定值为

【解析】试题分析：(1)、连结OB、OD、OC，根据D为BC的中点，则OD⊥BC，∠BOD=∠COD，∠ODB=90°，根据∠BMC=∠BOC得出∠BOD=∠M=60°，则∠OBD=30°，根据△ABC为正三角形得出∠ABC=60°，则∠ABO=90°，即为切线；(2)、作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，根据△ABC为正三角形，D为BC的中点则AD平分∠BAC，∠BAC=60°，DH=DN，∠HDN=120°，从而得出△DHE和△DNF全等，则HE=NF，则BE+CF=BH－EH+CN+NF=BH+CN，在Rt△DHB中根据∠DBH=60°得出BH=BD，同理得出CN=OC，从而得出BE+CF=BC，根据BD=OBsin30°=求出BC的长度，从而得出BE+CF为定值.

试题解析：(1)、连结OB、OD、OC，如图1， ∵D为BC的中点， ∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，

∴∠ODB=90°， ∵∠BMC=∠BOC， ∴∠BOD=∠M=60°， ∴∠OBD=30°， ∵△ABC为正三角形，

∴∠ABC=60° ∴∠ABO=60°+30°=90°， ∴AB⊥OB， ∴AB是⊙O的切线；

(2)、BE+CF的值是为定值．作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，

∵△ABC为正三角形，D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴DH=DN，∠HDN=120°，

∵∠EDF=120°， ∴∠HDE=∠NDF，在△DHE和△DNF中，， ∴△DHE≌△DNF，

∴HE=NF， ∴BE+CF=BH﹣EH+CN+NF=BH+CN， 在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°， ∴BH=BD，

同理可得CN=OC， ∴BE+CF=OB+OC=BC， ∵BD=OBsin30°=， ∴BC=2，

∴BE+CF的值是定值，为．

考点：(1)、切线的判定；(2)、等边三角形的性质；(3)、三角形全等的判定与性质；(4)、三角函数的应用.