Question

如图，反比例函数与正比例函数y=ax相交于A（1，k），B（-k，-1）两点。

（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；

（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数的图象交于C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），且|x₁-x₂|·|y₁-y₂|=5，求b的值。

Answer

（1）反比例函数解析式为y=，正比例函数的解析式为y=x；

（2）b的值为±1.

【解析】试题分析：（1）根据点A与点B关于原点对称，可以求出k的值，将点A分别代入反比例函数与正比例函数的解析式，即可得解；（2）分别把点（x1，y1）、（x2，y2）代入一次函数y=x+b，再把两式相减，根据|x1-x2||y1-y2|=5得出|x1-x2|=|y1-y2|= ，然后通过联立方程求得x1、x2的值，代入即可求得b的值．

试题解析：

（1）据题意得：点A（1，k）与点B（-k，-1）关于原点对称，

∴k=1，

∴A（1，1），B（-1，-1），

∴反比例函数和正比例函数的解析式分别为y=，y=x；

（2）∵一次函数y=x+b的图象过点（x1，y1）、（x2，y2），

∴ ，②-①得，y2-y1=x2-x1，

∵|x1-x2|·|y1-y2|=5，

∴|x1-x2|=|y1-y2|= ，

由得x2+bx-1=0，

解得，x1= ，x2=，

∴|x1-x2|=|- |=| ｜= ，

解得b=±1．

点睛： 本题考查了反比例函数与正比例函数关于原点对称这一知识点，以及用待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特点，利用对称性求出点的坐标是解题的关键．