Question

（10分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；

（2）结合图2，通过观察、测量、猜想：=______，并证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若AC=8，BD=6，直接写出的值．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质证得OB="OP" ， ∠BOC=∠BOG=90°，利用互余的性质证得∠GBO=∠EPO ，然后根据AAS可证明△BOG≌△POE；（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，根据条件证明△BMN≌△PEN，得出BM=PE，然后根据条件证明△BPF≌△MPF，得出BF="MF" ，然后可求；（3）类比（2）的解题方法可得出结论.

试题解析：【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB="OP" ， ∠BOC=∠BOG=90°.

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，

∴∠GBO=90°-∠BGO，∠EPO=90°-∠BGO.

∴∠GBO=∠EPO . .3分

∴△BOG≌△POE（AAS）. .4分

（2）. ..5分

证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB.

∵∠OBC=∠OCB =45°，∴ ∠NBP=∠NPB，∴NB=NP.

∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，∴∠MBN=∠NPE.

∴△BMN≌△PEN（ASA），∴BM=PE.

∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF.

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°.

又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）.

∴BF="MF" ，即BF=BM.

∴BF=PE， 即.. ..8分

（3）.. ..10分 （说明：用其它方法得到结果请相应给分）

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质..