Question

已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；

（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．

Answer

（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）45°；（3）P（，﹣）．

【解析】试题分析：（1）直接将A，C点坐标代入抛物线解析式求出即可；

（2）首先求出B点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而利用CO，BO的长求出∠ABC的度数；

（3）利用∠ACB=∠PAB，结合相似三角形的判定与性质得出BP的长，进而得出P点坐标．

【解析】
（1）将点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标（0，﹣3）代入抛物线解析式得：

，

解得：，

故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，

解得：x1=﹣1，x2=3，故B点坐标为：（3，0），

设直线BC的解析式为：y=kx+d，

则，

解得：，

故直线BC的解析式为：y=x﹣3，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BO=OC=3，

∴∠ABC=45°；

（3）过点P作PD⊥x轴于点D，

∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，

∴△ABP∽△CBA，

∴=，

∵BO=OC=3，

∴BC=3，

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4，

∴=，

解得：BP=，

由题意可得：PD∥OC，

∴DB=DP=，

∴OD=3﹣=，

则P（，﹣）．

考点：二次函数综合题．