Question

如图，点A、B、C、D均在⊙O上，FB与⊙O相切于点B，AB与CF交于点G，OA⊥CF于点E，AC∥BF．

（1）求证：FG=FB．

（2）若tan∠F=，⊙O的半径为4，求CD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得∠OAB=∠OBA，根据切线的性质，可得∠FBG+OBA=90°，根据等式的性质，可得∠FGB=∠FBG，根据等腰三角形的判定，可得答案；

（2）根据平行线的性质，可得∠ACF=∠F，根据等角的正切值相等，可得AE，根据勾股定理，可得答案．

（1）证明：∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵OA⊥CD，

∴∠OAB+∠AGC=90°．

∵FB与⊙O相切，

∴∠FBO=90°，

∴∠FBG+OBA=90°，

∴AGC=∠FBG，

∵∠AGC=∠FGB，

∴∠FGB=∠FBG，

∴FG=FB；

（2）如图

，

设CD=a，

∵OA⊥CD，

∴CE=CD=a．

∵AC∥BF，

∴∠ACF=∠F，

∵tan∠F=，

tan∠ACF==，即，

解得AE=a，

连接OC，OE=4﹣a，

∵CE2+OE2=OC2，

∴（a）2+（4﹣a）2=4，

解得a=，

CD=．

点睛：本题主要圆的相关证明、求解问题，涉及的知识有等腰三角形的性质及判定、切线的性质、勾股定理等.利用已知条件并结合图形进行推理是解题的关键.