Question

如图，射线AM平行于射线BN，∠B=90°，AB=4，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC，且AC=2CD，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为a．

（1）求△ACD的面积（用含a的代数式表示）；

（2）求点D到射线BN的距离（用含有a的代数式表示）；

（3）是否存在点C，使△ACE是以AE为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）a；（3）存在，a的值为2或4+8

【解析】试题分析：（1）先根据勾股定理得出AC，进而得出CD，最后用三角形的面积公式即可；

（2）先判断出∠FDC=∠ACB，进而判断出△DFC∽△CBA，得出，即可求出DF，即可；

（3）分两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．

【解析】
（1）在Rt△ABC中，AB=4，BC=a，

∴AC==，

∴CD=AC=，

∵∠ACD=90°，

∴S△ACD=AC•CD=.

（2）如图1，过点D作DF⊥BN于点F，

∵∠FDC+∠FCD=90°，∠FCD+∠ACB=180°﹣90°=90°，

∴∠FDC=∠ACB，

∵∠B=∠DFC=90°，

∴∠FDC=∠ACB，

∵∠B=∠DFC=90°，

∴△DFC∽△CBA，

∴，

∴DF=BC=a，

∴D到射线BN的距离为a；

（3）存在，①当EC=EA时，

∵∠ACD=90°，

∴EC=EA=AD，

∵AB∥CE∥DF，

∴BC=FC=a，

由（2）知，△DFC∽△CBA，

∴，

∴FC=AB=2，

∴a=2，

②当AE=AC时，如图2，AM⊥CE，

∴∠1=∠2，

∵AM∥BN，

∴∠2=∠4，

∴∠1=∠4，

由（2）知，∠3=∠4，

∴∠1=∠3，

∵∠AGD=∠DFC=90°，

∴△ADG∽△DCF，

∴，

∵AD==，AG=a+2，CD=，

∴，

∴a=4+8，

即：满足条件的a的值为2或4+8．

点睛：本题主要考相似的判定和性质.在解题中要注重数形结合、分类讨论及方程思想的应用.