Question

已知关于x的一元二次方程。

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。

Answer

5或4．

【解析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．

【解析】
（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）【解析】
一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，

∵k＜k+1，

∴AB≠AC．

当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；

当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，

所以k的值为5或4．

考点：1．根的判别式；2．解一元二次方程-因式分解法；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．