（1）16+2;（2）3;（3）6s或13s或12s或 10.8s.
【解析】分析：（1）利用勾股定理得出AC=8cm，进而表示出AP的长，由勾股定理求出PB，进而得出答案；（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，因此BD=10-6=4cm，设PC=x cm，则PA=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．
本题解析：
(1)∵∠C=90∘，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm.
∵∠C=90°，
∴由勾股定理得PB=2cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2=(16+2)cm；
(2)如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠ABC,∴PD=PC.
在Rt△BPD与Rt△BPC中, ，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC(HL)，
∴BD=BC=6 cm，
∴AD=10−6=4 cm.
设PC=x cm,则PA=(8−x)cm
在Rt△APD中,PD²+AD²=PA²，
即x²+4²=(8−x)²，
解得：x=3，
∴当t=3秒时，AP平分∠CAB；
(3)若P在边AC上时，BC=CP=6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP=7.2cm，
所以P运动的路程为18−7.2=10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°,∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形。
∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形。
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积计算；本题综合性较强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，并进行分类讨论是解决本题的关键.
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