Question

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．

（1）△ABC的面积为：　      　．

（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为　    　．

（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m²、25m²、36m²，则六边形花坛ABCDEF的面积是　       　m²．

Answer

（1）3.5；（2）3； （3）EP=FQ，证明见解析；（4）110m²．

【解析】分析：（1）利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；

（2）根据网格结构和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；（3）利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP，然后利用“角角边”证明△ABG和△EAP全等，同理可证△ACG和△FAQ全等，根据全等三角形对应边相等可得EP=AG=FQ；（4）过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解无理方程求出h，从而求出△PQR的面积，再根据六边形被分成的四个三角形的面积相等，总面积等于各部分的面积之和列式计算即可得解．

本题解析：

(1)△ABC的面积=3×3−×2×1−×3×1−×2×3=9−1−1.5−3=9−5.5=3.5；

(2)△DEF如图2所示:

面积=2×4−×1×2−×2×2−×1×4=8−1−2−2=8−5=3；

(3) EP=FQ，

证明：∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE,∠BAE=90∘，

∴∠PAE+∠BAG=180°−90°=90°,又∵∠AEP+∠PAE=90°，∴∠BAG=∠AEP，

在△ABG和△EAP中，

，∴△ABG≌△EAP(AAS)，同理可证,△ACG≌△FAQ，∴EP=AG=FQ；

(4)如图4，过R作RH⊥PQ于H，设RH=h，

在Rt△PRH中,PH=，

在Rt△RQH中,QH=,

∴PQ==6，

，

两边平方得,25−h²=36−12+13−h²，

整理得, =2，

两边平方得,13−h²=4，

解得h=3，

∴×6×3=9，

∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m².

点睛：本题考查了勾股定理，构图法求三角形的面积，全等三角形的判定与性质，读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解决本题的关键.