Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．

（1）∠ACB=　   　°，理由是：　   　；

（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；

（3）若AB=8，AD=6，求BD．

Answer

（1）90°，直径所对的圆周角是直角；

（2）△EAD是等腰三角形，理由见解析；

（3）BD=

【解析】试题分析：（1）根据AB是⊙O的直径，点C在⊙O上利用直径所对的圆周角是直角即可得到结论；

（2）根据∠ABC的平分线与AC相交于点D，得到∠CBD=∠ABE，再根据AE是⊙O的切线得到∠EAB=90°，从而得到∠CDB+∠CBD=90°，等量代换得到∠AED=∠EDA，从而判定△EAD是等腰三角形．

（3）证得△CDB∽△AEB后设BD=5x，则CB=4x，CD=3x，从而得到CA=CD+DA=3x+6，然后在直角三角形ACB中，利用AC2+BC2=AB2得到（3x+6）2+（4x）2=82解得x后即可求得BD的长．

试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）

（2）△EAD是等腰三角形．

证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，

∴∠CBD=∠ABE

∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°

∴∠AEB+∠EBA=90°，

∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，

∵∠CBE=∠ABE，

∴∠AED=∠EDA，

∴AE=AD

∴△EAD是等腰三角形．

（3）【解析】
∵AE=AD，AD=6，

∴AE=AD=6，

∵AB=8，

∴在直角三角形AEB中，EB=10

∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE

∴△CDB∽△AEB，

∴，

∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，

∴CA=CD+DA=3x+6，

在直角三角形ACB中，

AC2+BC2=AB2

即：（3x+6）2+（4x）2=82，

解得：x=﹣2（舍去）或x=

∴BD=5x=.

点睛：本题考查了圆的综合知识，题目中涉及到了圆周角定理、等腰三角形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质，难度中等偏上.