Question

如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；

（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

Answer

（1）y=-x2+2x+3．点B（1，4）．（2）证明见解析；（3）P1（0，0），P2（9，0），P3（0，-）．（4）s=．

【解析】试题分析：（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．

（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．

（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．

（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．

试题解析：（1）由题意，设抛物线解析式为y=a（x-3）（x+1）．

将E（0，3）代入上式，解得：a=-1．

∴y=-x2+2x+3．

则点B（1，4）．

（2）如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE=．

在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=．

∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．

∴AB是△ABE外接圆的直径．

在Rt△ABE中，tan∠BAE==tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线．

（3）Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；

①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；

由D（-1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE

满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．

②DE为短直角边时，P2在x轴上；

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；

而DE=，则DP2=DE÷sin∠DP2E==10，OP2=DP2-OD=9

即：P2（9，0）；

③DE为长直角边时，点P3在y轴上；

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；

则EP3=DE÷cos∠DEP3=，OP3=EP3-OE=；

综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，-）．

（4）设直线AB的解析式为y=kx+b．

将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得．

∴y=-2x+6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，

∴F（，3）．

情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．

则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．

由△AHG∽△FHM，得，即

解得HK=2t．

∴S阴=S△MNG-S△SNA-S△HAG=×3×3-（3-t）2-t2t=-t2+3t．

情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．

由△IQA∽△IPF，得．即，

解得IQ=2（3-t）．

∵AQ=VQ=3-t，

∴S阴=IVAQ=（3-t）2=t2-3t+．

综上所述：s=．

考点：二次函数综合题.