Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．

Answer

（1）证明详见解析；（2）；（3）．

【解析】试题分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角得到AD⊥BC，应用等腰三角形的三线合一证得点D为BC的中点；

（2）应用等腰三角形的性质和判定证得BD=DE=3，进而求得BD=3，AD=1，应用勾股定理求得AB的长，即可得到半径的长；

（3）解法一：通过证明△CAB∽△CDE，应用相似三角形的性质解得CE的长，再求AE的长；

解法二：连接BE，通过证明△ADC∽△BEC，解得CE的长，再求AE的长．

试题解析：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

又∵AB=AC，

∴D是BC的中点．

（2）【解析】
∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠C=∠E，则DC=DE，

∴BD=DE=3，

又BD-AD=2，

∴AD=1，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=1，

∴AB=，

则⊙O的半径为．

（3）解法一：在△CAB和△CDE中，

∠B=∠E，∠C=∠C（公共角），

∴△CAB∽△CDE，

∴，

∵CA=AB=，

∴，

∴AE=CE-AC==．

解法二：连接BE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠BEC=，

在△ADC和△BEC中，

∠ADC=∠BEC=，∠C=∠C，

∴△ADC∽△BEC，

∴，

∴，

∴AE=CE-AC==．

考点：圆周角定理的推论；相似三角形的判定和性质；勾股定理．