Question

阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：

如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC．

因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．
又因为∠B=∠1，所以∠B=∠2．

在△PAC与△PCB中，又因为：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以，即PC²=PA•PB．

问题拓展：

（Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC²=PA•PB，还成立吗？请证明你的结论；

综合应用：

（Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P；

（1）当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；

（2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证：．

　

Answer

（Ⅰ）成立，证明见解析；（Ⅱ）（1）6，（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）连接PO并延长交⊙O于点D、E，连接BD、AE，可得△PBD∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得PA⋅PB=PD⋅PE，再根据PC2=PD⋅PE，即可证得结论。

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）得，PC2=PA⋅PB，即可求得PC2=PA⋅PB=PA(PA+AB)=2PA2，继而即可求得答案；（2）过点A作AF//BC，交PD于点F，由平行线分线段成比例定理，即可得证.

【解析】
（Ⅰ）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC2=PA•PB仍然成立．

如图，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，

图1

∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，

∴△PBD∽△PEA，

∴ ，

即PA•PB=PD•PE，

由图1知，PC2=PD•PE，

∴PC2=PA•PB．

（Ⅱ）由（1）得，PC2=PA•PB，PC=12，AB=PA，

∴PC2=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA2，

∴2PA2=144，

∴PA=±6（负值无意义，舍去）．

∴PA=6．

（2）过点A作AF∥BC，交PD于点F，

图2

∴，．

∵D为BC的中点，

∴BD=CD，

∴，

∴．

∵PC 2=PA•PB，

∴，

即．

点睛：本题主要考查与圆有关的位置关系、圆中的计算问题以及相似三角形的判定与性质.利用相似及平行线分线段成比例定理是解题的关键.