Question

如下图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB=BE；

（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）3.

【解析】试题分析：（1）连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；

（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．

试题解析：（1）证明：连接OD，

∵PD切⊙O于点D，

∴OD⊥PD，

∵BE⊥PC，

∴OD∥BE，

∴∠ADO=∠E，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠E，

∴AB=BE；

（2）【解析】
由（1）知，OD∥BE，

∴∠POD=∠B，

∴cos∠POD=cosB=，

在Rt△POD中，cos∠POD=，

∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，

∴，

∴OA=3，

∴⊙O半径=3．