Question

如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（      ） 个 ．

A. 1    B. 2    C. 3        D．4

Answer

C

【解析】①∵BD为△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△EBC中，

BD=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BA，

∴△ABD≌△EBC(SAS)，

∴①正确；

②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，

∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，

∵△ABD≌△EBC，

∴∠BCE=∠BDA，

∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，

∴②正确；

③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，

∴∠DCE=∠DAE，

∴△ACE为等腰三角形，

∴AE=EC，

∵△ABD≌△EBC，

∴AD=EC，

∴AD=AE=EC，

∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，

∴EF≠EC，

∴③错误；

④过E作EG⊥BC于G点，

∵E是BD上的点，∴EF=EG，

在RT△BEG和RT△BEF中，

BE=BE，EF=EG，

∴RT△BEG≌RT△BEF(HL)，

∴BG=BF，

在RT△CEG和RT△AFE中，

EF=FG，AE=CE，

∴RT△CEG≌RT△AFE(HL)，

∴AF=CG，

∴AC=2CD，

∴④正确。

故选：C.

点睛：此题考查角平分线定理，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键.