Question

在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．

（1）如图1，当P在线段AC上时，请说明：BP=AQ；

（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，⑴中的结论是否成立？          （填“成立”或“不成立”）

Answer

（1）证明见解析；（2）成立.

【解析】试题分析：（1）首先根据内角和定理得出∠DAP=∠CBP，进而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案；（2）延长BA交PQ于H，由于∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，得到∠CAQ=∠DBQ，推出△AQC≌△BPC（ASA）即可得出结论.

试题解析：（1）∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，

∴∠DAP=∠CBP.

在△ACQ和△BCP中，

∴△ACQ ≌△BCP（ASA）.

∴BP=AQ.

（2）成立，

理由：延长BA交PQ于H，

∵∠ACQ=∠BDQ=90°,∠AQC=∠BQD,

∴∠CAQ=∠DBQ，

在△AQC和△BPC中,

∴△AQC≌△BPC(ASA)，

∴AQ=BP，

故答案为：成立；