Question

在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax²相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．

（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．

①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．

②如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L₂，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．

（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L₃，顶点为P，对应函数的二次项系数为a₃，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．

Answer

（1）①；②y=4（x﹣）2；（2）；

【解析】试题分析：（1）①根据函数解析式求出点A、B的坐标，求出AC的长；
②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，根据抛物线的轴对称性求出OM，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）过点B作BK⊥x轴于点K，设OK=t，得到OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，根据抛物线过点B（t，at2），求出的值，根据抛物线上点的坐标特征求出的值．

试题解析：（1）①二次函数y=x2，当y=2时，2=x2，
解得x1=，x2=-，
∴AB=2．
∵平移得到的抛物线L1经过点B，
∴BC=AB=2，
∴AC=4．
②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，如图2，

根据抛物线的轴对称性，得BN=DB=，
∴OM=．
设抛物线L2的函数表达式为y=a（x-）2，
由①得，B点的坐标为（，2），
∴2=a（-）2，
解得a=4．
抛物线L2的函数表达式为y=4（x-）2；
（2）如图3，抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，
过点B作BK⊥x轴于点K，

设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，at2），
根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．
设抛物线L3的函数表达式为y=a3x（x-4t），
∵该抛物线过点B（t，at2），
∴at2=a3t（t-4t），
∵t≠0，
∴，
由题意得，点P的坐标为（2t，-4a3t2），
则-4a3t2=ax2，
解得，x1=-t，x2=t，
EF=t，
∴．